Die endliche Fourier- und Walsh-Transformation mit einer by Klaus Niederdrenk (auth.), Gisela Engeln-Müllges (eds.)

By Klaus Niederdrenk (auth.), Gisela Engeln-Müllges (eds.)

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T -~--+- -~-. IT , (IT-x) x X =0 , x E (D,lT) gegeben ist, durch ihre Fourierteilsummen - 19 - Der letzte Satz garantiert wiederum die punktweise Konvergenz der Fourierteilsummen gegen den entsprechenden Funktionswert fUr jeden beliebigen Punkt, jedoch kann die Konvergenz nicht gleichmaBig sein, da die Fourierreihe eine stetige Funktion darstellt und die Funktion 9 in den Punkten jn , j E~ , Sprungstellen besitzt. 7: F 4(g) Graphen der Funktionen 9 und F10 (g) Graphen der Funktion 9 sowie der Fourierteilsummen fUr K= 4 und K= 10 FK(g) FOURIERKOEFFIZIENTEN VON ABLEITUNGEN 1st f eine X-periodische Funktion, so ist auch jede Ableitung von f, die existiert, eine periodische Funktion mit der gleichen Periode X Kennt man die Fourierkoeffizienten f"(k) von f, so kann man auch Aussagen Uber das Schwingungsverhalten der Ableitungen von f machen, denn die Fourierkoeffizienten zum Beispiel der ersten Ableitung von f sind gegeben durch 1 X (f')"(k) = - I f'(x) e X0 i = f(x) e = -2ni k ~ X dx - 2ni k ~ X 2n~ k f"(k) X o .

13, die mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation und -Umkehrtransformation wie im letzten Beispiel besprochen ermittelt wurden. Es gibt viele weitere sinnvolle Moglichkeiten einer sol chen Filterung, so etwa mit einer Kombination der Dirichlet- und Fejer-Faktoren 1 I kl < m -~ n-m m < I kl < n o fUr geeignete Werte von faktoren _( m und n mi t m < n , oder mi t den Dampfungs- ~) 2 =e oder fur geeignete Werte von r. - 38 - Mit auf solche Weise manipulierten Fourierkoeffizienten einer stetigen Funktion kann man zusatzlich die gleichmaBige Konvergenz der Fourierteilsummen gegen diese Funktion erreichen.

0, ± 1 ,± 2 , ... ) . e. ) . e. f) - 45 - BEWEIS: Dieser Satz laBt sich wegen der erlaubten iterier ten Darste llung der Integra le wie im eindimensionalen Fall beweisen. B. (~,n) dn d~J e 0 e ~+ i Y )dy dx } -2rri (k t i y) dn -2rri (k g(~,n) e -2rri (k X+ i f ) . + d~ Mit Hilfe der Substitution x - ~ = u und y - n = v und unter Ausnutz ung der Period izitat des Integranden steht in den geschweiften Klammern der Fourierkoeffizient fA(k,i ), so daB schlieBlich die Aussage (ii) folgt . 14: Der periodischen Funktionen fund 9 mit den gleiche n Perioden X und Y seien absolut quadratisch integr ierbar .

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